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第二章第二章 投影变换投影变换 1 2.1 2.1 问题的提出问题的提出 2.2 2.2 选择新投影面的原则选择新投影面的原则 2.3 2.3 点的投影变换规律点的投影变换规律 2.4 2.4 四个基本作图问题四个基本作图问题 内内 容容 2 2.1 问题的提出 当几何元素相对于投影面处于特殊位置特殊位置 时,其投影往往能直接反映直接反映交点、交线 的位置或图形实形、线段实长。 定位问题度量问题 3 几何元素处于一般几何元素处于一般 位置时怎么办?位置时怎么办? 几何元素不动 变换投影面位置 投影变换目的 改变几何元素与投影面之间的相对位 置,使之平行或垂直投影面。借助于改 变后的辅助投影,而简化解题。 投影面不动几何 元素绕某轴旋转 换面法换面法 旋转法旋转法 4 2.2 选择新投影面的原则 如何求线段AB的实长? 当当P P 1 1 //AB//AB时时 a a1 1b b 1 1 = AB= AB V H X P1 X X1 1 a1 b1 A a b a b B 5 选择新投影面的原则 V H X P1 A a b a b B X X1 1 a1 b1 新投影面必对空间 几何元素处于有利 于解题的位置 新投影面必须垂直 原投影面体系中的 某一投影面以构成 新的相互垂直的投 影面体系 6 a a ax A V H X 2.3 点的投影变换规律 X1 P1 ax1 a1 XV H a a ax X1 H P1 a1 ax1 点到点到H H面之距面之距 7 XV H a a ax X1 H P1 a1 ax1 点的投影变换规律 在新投影面体系中, 点的一对投影连线垂 直于新投影轴 新投影到新轴之距 = 被代替的投影到原投 影轴之距 8 X V H a a 点的二次换面 X1 X2 H P1 P1 P2 a1 a2 注意注意: :必须依次更换投影面必须依次更换投影面 9 2.4 四个基本作图问题 将一般位置直线变换成投影面平行线将一般位置直线变换成投影面平行线 例 求AB实长及对H面倾角 X1 a1 b1 实长 H P1 a b a b O V H X 空间分析空间分析 当AB为新投影面的 平行线时,其投影 直接反映实长 更换哪个投影面? V V 因为要求(与H面 倾角),则必须保 留H面而使AB平行P1 如何确定如何确定X X 1 1 轴轴 的方向的方向 X1 ab a1 b1 P1 H 投影分析投影分析 X X1 1 // //abab 一次换面一次换面 10 将一般位置直线变换成投影面垂直线将一般位置直线变换成投影面垂直线 V H X X X1 1 X X2 2 Ba b a b P1 b1 a1 P2 a2b2 A 空间分析空间分析 将一般位置直线 投影面垂直线 更换一次投影面 不能实现 将投影面平行线 更换一次投影面 投影面垂直线 P X X X1 1 Ba b P1 b1 a1 P2 a2b2 A 两次换面两次换面 将一般位置直线 投影面平行线 将投影面平行线 投影面垂直线 11 X1 X2 a2 b2 a1 b1 X1 // ab X2 a1b1 作图作图 H P1 P1 P2 将一般位置直线 投影面平行线 将投影面平行线 投影面垂直线 将一般位置线变换成投影面垂直线将一般位置线变换成投影面垂直线 X a b a b H V V H X X X1 1 X X2 2 B a b a b P1 b1 a1 P2 a2b2 A 注意新投影轴方向的确定 12 a b k k a b XV H 过点K作直线与 AB垂直相交并 求其实长 X1 b1 k1 X2 l1 l l X1//ab k1l1//X2 H P1 P1 P2 空间分析空间分析 在什么情况下所 求线段的投影直 接反映其实长? A B K L P abl k ABAB P P KL// PKL// P klkl=KL=KL 如何将AB变换成 投影面垂直线? // // a1 例例 求点K到直线AB之距 投影分析投影分析 如何确定如何确定 新投影轴的方向新投影轴的方向 将AB//线 将AB线 如何返回原如何返回原 投影面体系投影面体系 A B K L P abl k X2a1b1 a2b2l2 k2 13 将一般位置平面变换成投影面垂直面将一般位置平面变换成投影面垂直面 必须使平面内某 一直线成为该投 影面的垂直线 取平面内的 投影面平行线投影面平行线 X1 X X1 1 方向如何确定方向如何确定 X X1 1 bmbm m m a1 c1 b1 H P1 a b c b a c X V H 一次换面一次换面 14 a b c b a c X V H 将一般位置平面变换成投影面平行面将一般位置平面变换成投影面平行面 例例 求ABC实形 空间分析空间分析 平面相对于投影面 处于何种位置时其 投影直接反映实形 投影面平行面投影面平行面 先将平面变换 成投影面垂直面 X1 H P1 a1 a2 b1 b2 c1 c2 X2 P1 P2 1 1 X1 b1 再将平面变换 成投影面平行面 X2 // c1b1a1 实形实形 两次换面两次换面 15 a c b d a c b XV H 应用举例例例1 1 ABC与ABD夹角为60,求ad,bd c1 a1 b1 X1 a2 b2 H P1 d1 d X2 P1P2 空间分析空间分析 当两平面的交线 AB垂直于新投影 面时它们在该投 影面上的投影反 映其夹角实大 将将AB AB 投影面垂直线投影面垂直线 c2 d2 60 投影分析投影分析 将AB 投影面平行线 新投影轴 X1//ab 将AB 投影面垂直线 新投影轴X2a1b1 16 a b c b c a XV H 例例2 2 过点A作直线与BC相交成60 X1 b1 c1 a1 X2 a2 b2 c2 m2 n2 m1 n1 m m n n H P1 P1 P2 空间分析空间分析在实形图形上直接反映直线夹角 大小,此题实质是求实形问题 投影分析投影分析 将平面 投影面垂直面 X1 平面内一投影面平行线 将平面 投影面平行面 X2 // 平面的积聚性投影 60 60 返回到原投影面体系 17 小小 结结 选择新投影面的原则选择新投影面的原则 点的一次换面的作图点的一次换面的作图 四个基本作图问题:四个基本作图问题: 将一般位置平面变换成投影面平行面 将一般位置平面变换成投影面垂直面 将一般位置直线变换成投影面垂直线 将一般位置直线变换成投影面平行线 将一般位置直线变换成投影面垂直线 将一般位置平面变换成投影面垂直面 18 解题思路解题思路 空间分析 建立所求结果的空间几何模型 寻找达到此结果的途经 分析如何从原投影面体系变换 到新投影面体系(需几次变换 ) 投影分析 每一次变换中新投影轴的方向每一次变换中新投影轴的方向 如何确定如何确定 采用反推法采用反推法 19
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