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chapter3

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第三章 机械能定理 1 3.1 动能定理 3.1.1 功与功率 力的空间累积量:功 元功 变力沿曲线作功 2 质点从 a 到 b 的运动过程中,力 F 所作的功 在SI中,功的单位是 Nm (牛米),又称 J (焦耳),即有J =Nm。 3 重力功O 重力对物体所作的功只与物体初始位置和终止位置有关, 与经过的路径无关。 4 弹力功 x x+dx k 弹力对物体所作的功只与物体初始位置和终止位置有关, 与其间经过的路径无关。 5 质点在运动过程中受多个力作用时 分力作功之和等于合力作功 6 一对作用力与反作用力: OS系 P1P2 在所有相对平动的参考系中, 两个质点之间的一对作用力与反作用力作功之和都相同 (受牛顿第三定律径向力约束)在任意参考系中, 两个质点之间的一对作用力与反作用力作功之和都相同 7 万有引力功 r m M系 与路径无关 8 二体径向位力功 弹力和万有引力都是径向力 库仑力功库仑力功 9 功率 功率 P :力在单位时间内所作的功: 设 F 作用的对象在 dt 时间的位移量为 dl 在SI中,功率单位特称W(瓦特),即有W = J/s 10 3.1.2 质点动能定理 任一惯性系S中,合力 F 对质点所作元功 牛顿第二定律的切向分量式 代入得 11 在S系中定义质点的动能: 质点动能定理 合力对质点作的功等于质点动能的增加量 微分式 积分式 非惯性系中引入惯性力作功量,它与真实力作功量之和 也等于质点在非惯性系中动能的增量。 12 3.1.3 质点系动能定理 质点系在某惯性系的动能 质点系动能定理: 非惯性系中引入各质点所受惯性力作功之和W惯,也可有相应的 “质点系动能定理” 内力是否作功? 13 例1 hl m A F v0 h l A v0 O 试求 F 的功率 A点以v0匀速水平运动 14 解法二 求导 求导 h l A v0 O 15 例2 长 L、质量 M 的平板放在光滑水平面上,质量 m 的小木块 以水平初速 v0 滑入平板上表面,两者间摩擦系数为, 试求小木块恰好未能滑离平板上表面的条件。 m v0 M, L 小木块运动到平板右端时与平板速度相同 过程中 m 与 M 间一对摩擦力作功 地面惯性系中动能定理 解法一 16 在随木板运动的非惯性系中 木块以初速 v0 滑入,最后静止在木板右端。 在这个过程中,摩擦力和惯性力做功。 平动加速度 木块所受惯性力 动能定理 解法二 17 解法三 当作两体问题处理 木块以初速 v0 滑入,最后静止在木板右端。 18 第三章作业 A组 4、7、8、9、10 12、17、18、20、22、24 B组 26、29、33、34 19 3.2 保守力与势能 3.2.1 保守力 力的冲量 “路线”唯一 力作的功“路线”不唯一 从作功的角度,力可分为 摩擦力、空气阻力就是典型的非保守力 自然界所有的基本力都是保守力 20 3.2.2 势能 两点之间的可能路径 A B P L1 L2 在任意位置上取一个“标准”点 P 从A到B保守力作的功 定义质点在S系的每一个位置的势能: 计算保守力所作的功 21 守恒的理念:动能的增加等于势能的减少 势能零点的选择具有任意性,实际中常选 F = 0 点为势能零点。 任意点的势能等于将质点从该点移动到参考点保守力作的功 势能的减少 = 保守力作功 = 动能的增加 22 重力势能 重心 等势面:势能相等的点形成的曲面 重力的等势面是一水平面 23 弹性势能 势能是保守力作功引起的, 势能究竟“藏”在系统何处? 力从哪里来? 场--------引力场、电场、磁场、电磁场等等 势能藏在场中 场又从哪里来? O x 24 二体势能 OS系 P1P2 两个质点的相互作用是一对保守性作用力和反作用力 系统势能的定义:两个力的作功之和等于系统势能的减少量 系统势能只依赖于两个质点的相对位置, 且在所有参考系中都是相同的。 对于两体系统,系统势能又称为二体势能 25 二体万有引力势能 26 二体库仑势能 27 3.2.3 势能函数 势能函数一般是空间的三元函数 如何由势能函数求保守力? 28 一维情况 势能函数 保守力 F 是 x 方向的 势能与保守力有关系 29 三维情况 保守力 F 一般也是三元函数 势能与保守力有关系 势能的全微分公式 30 引入哈密顿算符 31 势能曲线 一维势能函数对应的 Ep - x 曲线称为势能曲线; 二维的称为势能曲面。 例 二体引力势能对应的势能曲线 Ep r 32 思考题 半径为R的光滑圆环绕竖直轴以0匀速转动,圆环上套一小球, 试确定其稳定平衡点位置。 33 例4 均匀柱形弹性体:劲度系数 k、 自由长度 L,质量 m, 求竖直悬挂时的伸长量和弹性势能。 均匀柱形弹性体的性质: 原长 L 中任意一段 l 的劲度系数 受力 F 时, O x 34 对应原长 x 处 dx 段的劲度系数 受力该小段的伸长量 总伸长量 内含弹性势能 35 3.3 机械能定理 3.3.1 机械能定理 从力学的角度看,质点间的相互作用力或是保守性的, 或是非保守性的。 36 惯性系中质点系动能定理: 将保守性内力作功之和用它们的势能代替, 动能定理可改写为 质点系中各对保守性内力对应的势能之和 Ep 各对保守性内力作功之和W内保便等于Ep的减少量 非保守性内力作功之和W内非保,外力作功之和W外 37 定义质点系动能与内势能之和为质点系机械能 质点系机械能定理 所有非保守内力作功与所有外力作功之和 等于质点系机械能增加量 38 质点系所受外力也可进一步分为保守性的和非保守性的。 保守性的外力也有对应的外势能 非惯性系中各质点所受保守性惯性力对应的势能之和 Ep惯 其中 39 3.3.2 机械能守恒定律 动能由各质点速度确定, 势能由系统自身几何位置和形状确定, 速度和几何位形都是运动状态的表征, 因此机械能是由系统运动状态确定的力学量。 动能势能 保守力作功 机械能其它形式的能量 非保守力作功 除机械能外,还有许多其它形式的能量 40 机械能守恒定律 能量守恒定律 这条定律支配着至今 我们所知道的一切自然现象, 没有发现这条定律有什么例外。 41 例 6 某惯性系中质量各为m,M的质点A,B。 开始时相距l0,A静止,B沿连线向外以v0运动。 在力 F 作用下,B作匀速运动。 (1) 试求A、B间距可达到的最大值lmax (2) 此过程中变力F所作的功。 m M A B l0 先定性分析A、B的运动 42 选择合适的参考系 随B运动的惯性系 利用机械能守恒定律 利用机械能定理 另外一种情况 m M A B l0 43 例7 半径为R的匀质圆环形光滑细管放在光滑的水平面上,管内 有两个相同质量的小球,它们的初速度相同,如图所示。求 (1)两球相碰时离管道中心的距离。 (2)从小球穿出缺口到相碰,管道水平经过的路程。 O R O R 动量守恒机械能守恒 44 例 9 长L的匀质软绳绝大部分沿长度部分放在光滑水平 桌面上,仅有很少一部分悬挂在桌面外。而后绳将从 静止开始下滑。问绳能否达到图(b)状态? 若否,绳滑下多长时会甩离桌边? L L 分析物理过程 (a)(b) (c) 45 利用机械能守恒定律 绳的水平方向动量 时,存在极大值 L L l 46 3.4 碰撞 将碰撞的物体模型化为质点 宏观世界经常会发生物体间的碰撞 碰撞的特点:碰撞时间一般很短, 物体的动量有明显变化, 碰撞力很大, 常规力(如重力)与其相比提供的冲量可略 碰撞的基本问题:已知碰撞前系统的运动状态, 要求确定碰撞后系统的运动状态。 碰撞现象普遍存在! 47 起跳和落地时的肌肉和筋腱 足球、排球、体操等运动中,膝部要承受多达7-14倍的峰值体重 48 3.1 一维碰撞 m1 m2 m1 m2 碰撞前碰撞后 碰撞前后动量守恒: 为解v1,v2,还需建立补充方程 49 弹性碰撞 碰撞前后系统动能不变(机械能守恒) 两个解:一解对应碰前状态,另一解对应碰后状态。 50 性质:碰撞前后相对速度大小不变 特例1: (反弹) 特例2: 碰后交换速度 51 完全非弹性碰撞 碰后质点1和2一起运动 碰后动能损失 52 非弹性碰撞 介于弹性与完全非弹性之间的碰撞 引入恢复系数 53 54 三体碰撞 m1 m2 完全非弹性碰撞有唯一解 碰撞前后动量守恒: 55 解仍然具有的不定性 模型的问题 弹性碰撞 将物体刚性化与质点化 56 3.4.2 二维斜碰撞 动量守恒方程 m1 m2 完全非弹性碰撞有唯一解 弹性碰撞 若再补充一个角度关系则有唯一解 解的不定性源于物体的刚性化与质点化 四个未知标量 57 例11 采用二体约化质量方法, 计算二体正碰撞过程中系统 动能损失。 碰撞过程中动能损失量由内力作功引起, 因此在所有参考系中相同。 1 2 v0 12 v 引入恢复系数 58 利用动能定理 二体约化质量 转换到其它参考系,质点1,2初速分别记为v10,v20,则有 59 习题3-3 质量同为m的两个小球,用长为 2l 的轻绳连接后静 放在光滑桌面上,受绳中央的恒力 F 作用。 问在两球第一次相碰前的瞬间,小球在垂直于 F 的方向上分速 度多大? m 60 解法一 绳中张力的水平分量 小球平行方向做匀加速运动,碰前行程 s 利用动能定理 61 解法二 绳中张力的垂直分量 小球垂直方向的位移 利用动能定理 62 解法三 在随小球沿受力方向平行运动的非惯性系中, 只有力F作功 利用动能定理 63
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