• / 65
  • 下载费用:8 金币  

奥数课本 七年级奥数(上册)

关 键 词:
课本 年级 上册
资源描述:
第一讲第一讲 有理数的巧算有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性. 1.括号的使用 .括号的使用 在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单. 例例 1 计算: 分析分析 中学数学中,由于负数的引入,符号“+”与“-”具有了双重涵义,它既是表示加法与减法的运算符号,也是表示正数与负数的性质符号.因此进行有理数运算时,一定要正确运用有理数的运算法则,尤其是要注意去括号时符号的变化. 注意注意 在本例中的乘除运算中,常常把小数变成分数,把带分数变成假分数,这样便于计算. 例例 2 计算下式的值: 211³555+445³789+555³789+211³445. 分析分析 直接计算很麻烦,根据运算规则,添加括号改变运算次序,可使计算简单.本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算. 解解 原式=(211³555+211³445)+(445³789+555³789) =211³(555+445)+(445+555)³789 =211³1000+1000³789 =1000³(211+789) =1 000 000. 说明说明 加括号的一般思想方法是“分组求和” ,它是有理数巧算中的常用技巧. 例例 3 计算:S=1-2+3-4+„+(-1)n+1²n. 分析分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1” .如果按照将第一、第二项,第三、第四项,„,分别配对的方式计算,就能得到一系列的“-1” ,于是一改“去括号”的习惯,而取“添括号”之法. 解解 S=(1-2)+(3-4)+„+(-1)n+1²n. 下面需对 n 的奇偶性进行讨论: 当 n 为偶数时,上式是 n/2 个(-1)的和,所以有 当 n 为奇数时,上式是(n-1)/2 个(-1)的和,再加上最后一项(-1)n+1²n=n,所以有 例例 4 在数 1,2,3,„,1998 前添符号“+”和“-” ,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少? 分析与解分析与解 因为若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在 1,2,3,„,1998 之前任意添加符号“+”或“-” ,不会改变和的奇偶性.在 1,2,3,„,1998 中有 1998÷2 个奇数,即有 999 个奇数,所以任意添加符号“+”或“-”之后,所得的代数和总为奇数,故最小非负数不小于 1. 现考虑在自然数 n,n+1,n+2,n+3 之间添加符号“+”或“-” ,显然 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0. 这启发我们将 1,2,3,„,1998 每连续四个数分为一组,再按上述规则添加符号,即 (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+„+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1. 所以,所求最小非负数是 1. 说明说明 本例中,添括号是为了造出一系列的“零” ,这种方法可使计算大大简化. 2.用字母表示数.用字母表示数 我们先来计算(100+2)³(100-2)的值: (100+2)³(100-2)=100³100-2³100+2³100-4 =1002-22. 这是一个对具体数的运算,若用字母 a 代换 100,用字母 b 代换 2,上述运算过程变为 (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2. 于是我们得到了一个重要的计算公式 (a+b)(a-b)=a2-b2, ① 这个公式叫平方差公式,以后应用这个公式计算时,不必重复公式的证明过程,可直接利用该公式计算. 例例 5 计算 3001³2999 的值. 解解 3001³2999=(3000+1)(3000-1) =30002-12=8 999 999. 例例 6 计算 103³97³10 009 的值. 解解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9) =(1002-9)(1002+9) =1004-92=99 999 919. 例例 7 计算: 分析与解分析与解 直接计算繁.仔细观察,发现分母中涉及到三个连续整数:12 345,12 346,12 347.可设字母 n=12 346,那么 12 345=n-1,12 347=n+1,于是分母变为 n2-(n-1)(n+1).应用平方差公式化简得 n2-(n2-12)=n2-n2+1=1, 即原式分母的值是 1,所以原式=24 690. 例例 8 计算: (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1). 分析分析 式子中 2,22,24,„每一个数都是前一个数的平方,若在(2+1)前面有一个(2-1),就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了. 解解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)³(216+1)(232+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)³(232+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=„„ =(232-1)(232+1) =264-1. 例例 9 计算: 分析分析 在前面的例题中,应用过公式 (a+b)(a-b)=a2-b2. 这个公式也可以反着使用,即 a2-b2=(a+b)(a-b). 本题就是一个例子. 通过以上例题可以看到,用字母表示数给我们的计算带来很大的益处.下面再看一个例题,从中可以看到用字母表示一个式子,也可使计算简化. 例例 10 计算: 我们用一个字母表示它以简化计算. 3.观察算式找规律.观察算式找规律 例例 11 某班 20 名学生的数学期末考试成绩如下,请计算他们的总分与平均分. 87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88. 分析与解分析与解 若直接把 20 个数加起来,显然运算量较大,粗略地估计一下,这些数均在 90 上下,所以可取 90 为基准数,大于 90 的数取“正” ,小于 90 的数取“负” ,考察这 20 个数与 90 的差,这样会大大简化运算.所以总分为 90³20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3) +2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1) +2+5+(-2) =1800-1=1799, 平均分为 90+(-1)÷20=89.95. 例例 12 计算 1+3+5+7+„+1997+1999 的值. 分析分析 观察发现:首先算式中,从第二项开始,后项减前项的差都等于 2;其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于 2000,于是可有如下解法. 解解 用字母 S 表示所求算式,即 S=1+3+5+„+1997+1999. ① 再将 S 各项倒过来写为 S=1999+1997+1995+„+3+1. ② 将①,②两式左右分别相加,得 2S=(1+1999)+(3+1997)+„+(1997+3)+(1999+1) =2000+2000+„+2000+2000(500 个 2000) =2000³500. 从而有 S=500 000. 说明说明 一般地,一列数,如果从第二项开始,后项减前项的差都相等(本题 3-1=5-3=7-5=„=1999-1997,都等于2),那么,这列数的求和问题,都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决. 例例 13 计算 1+5+52+53+„+599+5100的值. 分析分析 观察发现,上式从第二项起,每一项都是它前面一项的 5 倍.如果将和式各项都乘以 5,所得新和式中除个别项外,其余与原和式中的项相同,于是两式相减将使差易于计算. 解解 设 S=1+5+52+„+599+5100, ① 所以 5S=5+52+53+„+5100+5101. ② ②—①得 4S=5101-1, 说明说明 如果一列数,从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于 5),那么这列数的求和问题,均可用上述“错位相减”法来解决. 例例 14 计算: 分析分析 一般情况下,分数计算是先通分.本题通分计算将很繁,所以我们不但不通分,反而利用如下一个关系式 来把每一项拆成两项之差,然后再计算,这种方法叫做拆项法. 解解 由于 所以 说明说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项,这种方法在有理数巧算中很常用. 练习一练习一 1.计算下列各式的值: (1)-1+3-5+7-9+11-„-1997+1999; (2)11+12-13-14+15+16-17-18+„+99+100; (3)1991³1999-1990³2000; (4)4726342+472 6352-472 633³472 635-472 634³472 636; (6)1+4+7+„+244; 2.某小组 20 名同学的数学测验成绩如下,试计算他们的平均分. 81,72,77,83,73,85,92,84,75,63,76,97,80,90,76,91,86,78,74,85. 第二讲第二讲 绝对值绝对值 绝对值是初中代数中的一个基本概念,在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式,以及求解方程与不等式时,经常会遇到含有绝对值符号的问题,同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题. 下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识,然后进行例题分析. 一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.即 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识,它与距离的概念密切相关.在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值. 结合相反数的概念可知,除零外,绝对值相等的数有两个,它们恰好互为相反数.反之,相反数的绝对值相等也成立.由此还可得到一个常用的结论:任何一个实数的绝对值是非负数. 例例 1 a,b 为实数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件? (1)|a+b|=|a|+|b|; (2)|ab|=|a||b|;(3)|a-b|=|b-a|; (4)若|a|=b,则 a=b; (5)若|a|<|b|,则 a<b; (6)若 a>b,则|a|>|b|. 解解 (1)不对.当 a,b 同号或其中一个为 0 时成立.(2)对. (3)对. (4)不对.当 a≥0 时成立. (5)不对.当 b>0 时成立. (6)不对.当 a+b>0 时成立. 例例 2 设有理数 a,b,c 在数轴上的对应点如图 1-1 所示,化简|b-a|+|a+c|+|c-b|. 解解 由图 1-1 可知,a>0,b<0,c<0,且有|c|>|a|>|b|>0.根据有理数加减运算的符号法则,有 b-a<0,a+c<0,c-b<0. 再根据绝对值的概念,得 |b-a|=a-b,|a+c|=-(a+c),|c-b|=b-c. 于是有 原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c. 例例 3 已知 x<-3,化简:|3+|2-|1+x|||. 分析分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题,可从里往外一层一层地去绝对值符号. 解解 原式=|3+|2+(1+x)||(因为 1+x<0) =|3+|3+x|| =|3-(3+x)|(因为 3+x<0) =|-x|=-x. 解解 因为 abc≠0,所以 a≠0,b≠0,c≠0. (1)当 a,b,c 均大于零时,原式=3; (2)当 a,b,c 均小于零时,原式=-3; (3)当 a,b,c 中有两个大于零,一个小于零时,原式=1; (4)当 a,b,c 中有两个小于零,一个大于零时,原式=-1. 说明说明 本例的解法是采取把 a,b,c 中大于零与小于零的个数分情况加以解决的,这种解法叫作分类讨论法,它在解决绝对值问题时很常用. 例例 5 若|x|=3,|y|=2,且|x-y|=y-x,求 x+y 的值. 解解 因为|x-y|≥0,所以 y-x≥0,y≥x.由|x|=3,|y|=2 可知,x<0,即 x=-3. (1)当 y=2 时,x+y=-1; (2)当 y=-2 时,x+y=-5. 所以 x+y 的值为-1 或-5. 例例 6 若 a,b,c 为整数,且|a-b|19+|c-a|99=1,试计算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值. 解解 a,b,c 均为整数,则 a-b,c-a也应为整数,且|a-b|19,|c-a|99为两个非负整数,和为 1,所以只能是 |a-b|19=0 且|c-a|99=1, ① 或 |a-b|19=1 且|c-a|99=0. ② 由①有 a=b 且 c=a±1,于是|b-c|=|c-a|=1;由②有 c=a 且 a=b±1,于是|b-c|=|a-b|=1.无论①或②都有 |b-c|=1 且|a-b|+|c-a|=1, 所以 |c-a|+|a-b|+|b-c|=2. 解解 依相反数的意义有 |x-y+3|=-|x+y-1999|. 因为任何一个实数的绝对值是非负数,所以必有|x-y+3|=0 且|x+y-1999|=0.即 由①有 x-y=-3,由②有 x+y=1999.②-①得 2y=2002, y=1001, 所以 例例 8 化简:|3x+1|+|2x-1|. 分析分析 本题是两个绝对值和的问题.解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉每个绝对值符号,则是很容易的事.例如,化简|3x+1|,只要考虑 3x+1 的正负,即可去掉绝对值符号.这里我们 为三个部分(如图 1-2 所示),即 这样我们就可以分类讨论化简了. 原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x; 原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2; 原式=(3x+1)+(2x-1)=5x. 即 说明说明 解这类题目,可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值,即先求出各个分界点,然后在数轴上标出这些分界点,这样就将数轴分成几个部分,根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简,这种方法又称为“零点分段法” . 例例 9 已知 y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|,求 y 的最大值. 分析分析 首先使用“零点分段法”将 y 化简,然后在各个取值范围内求出 y 的最大值,再加以比较,从中选出最大者. 解解 有三个分界点:-3,1,-1. (1)当 x≤-3 时, y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1, 由于 x≤-3,所以 y=x-1≤-4,y 的最大值是-4. (2)当-3≤x≤-1 时, y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11, 由于-3≤x≤-1,所以-4≤5x+11≤6,y 的最大值是 6. (3)当-1≤x≤1 时, y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3, 由于-1≤x≤1,所以 0≤-3x+3≤6,y 的最大值是 6. (4)当 x≥1 时, y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1, 由于 x≥1,所以 1-x≤0,y 的最大值是 0. 综上可知,当 x=-1 时,y 取得最大值为 6. 例例 10 设 a<b<c<d,求 |x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d| 的最小值. 分析分析 本题也可用“零点分段法”讨论计算,但比较麻烦.若能利用|x-a|,|x-b|,|x-c|,|x-d|的几何意义来解题,将显得更加简捷便利. 解解 设 a,b,c,d,x 在数轴上的对应点分别为 A,B,C,D,X,则|x-a|表示线段 AX 之长,同理,|x-b|,|x-c|,|x-d|分别表示线段 BX,CX,DX 之长.现要求|x-a|,|x-b|,|x-c|,|x-d|之和的值最小,就是要在数轴上找一点 X,使该点到 A,B,C,D 四点距离之和最小. 因为 a<b<c<d,所以 A,B,C,D 的排列应如图 1-3 所示: 所以当 X 在 B,C之间时,距离和最小,这个最小值为 AD+BC,即(d-a)+(c-b). 例例 11 若 2x+|4-5x|+|1-3x|+4 的值恒为常数,求 x 该满足的条件及此常数的值. 分析与解分析与解 要使原式对任何数 x 恒为常数,则去掉绝对值符号,化简合并时,必须使含 x 的项相加为零,即 x 的系数之和为零.故本题只有 2x-5x+3x=0 一种情况.因此必须有 |4-5x|=4-5x 且|1-3x|=3x-1. 故 x 应满足的条件是 此时 原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4 =7. 练习二练习二 1.x 是什么实数时,下列等式成立: (1)|(x-2)+(x-4)|=|x-2|+|x-4|; “.” Tel:15148119438 整理者:辛国庆 (2)|(7x+6)(3x-5)|=(7x+6)(3x-5). 2.化简下列各式: (2)|x+5|+|x-7|+|x+10|. 3.若 a+b<0,化简|a+b-1|-|3-a-b|. 4.已知 y=|x+3|+|x-2|-|3x-9|,求 y 的最大值. 5.设 T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中 0<p<15,对于满足 p≤x≤15 的 x 来说,T 的最小值是多少? 6.已知 a<b,求|x-a|+|x-b|的最小值. 7.不相等的有理数 a,b,c 在数轴上的对应点分别为 A,B,C,如果|a-b|+|b-c|=|a-c|,那么 B点应为( ). (1)在 A,C点的右边; (2)在 A,C点的左边; (3)在 A,C点之间; (4)以上三种情况都有可能. 第三讲第三讲 求代数式的值求代数式的值 用具体的数代替代数式里的字母进行计算,求出代数式的值,是一个由一般到特殊的过程.具体求解代数式值的问题时,对于较简单的问题,代入直接计算并不困难,但对于较复杂的代数式,往往是先化简,然后再求值.下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧. 例例 1 求下列代数式的值: 分析分析 上面两题均可直接代入求值,但会很麻烦,容易出错.我们可以利用已经学过的有关概念、法则,如合并同类项,添、去括号等,先将代数式化简,然后再求值,这样会大大提高运算的速度和结果的准确性. =0-4a3b2-a2b-5 =-4³13³(- 2)2- 12³(-2)-5 =-16+2-5=-19. (2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)] =3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z) =(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z) =2xyz-2x2z =2³(-1)³2³(-3)-2³(-1)2³(-3) =12+6=18. 说明说明 本例中(1)的化简是添括号,将同类项合并后,再代入求值;(2)是先去括号,然后再添括号,合并化简后,再代入求值.去、添括号时,一定要注意各项符号的变化. 例例 2 已知 a-b=-1,求 a3+3ab-b3的值. 分析分析 由已知条件 a-b=-1,我们无法求出 a,b 的确定值,因此本题不能像例 1 那样,代入 a,b 的值求代数式的值.下面给出本题的五种解法. 解法解法 1 由 a-b=-1得 a=b-1,代入所求代数式化简 a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3 =b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3 =-1. 说明说明 这是用代入消元法消去 a 化简求值的. 解法解法 2 因为 a-b=-1,所以 原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab =-1³(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab =-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2 =-(-1)2=-1. 说明说明 这种解法是利用了乘法公式,将原式化简求值的.解法 3 因为 a-b=-1,所以 原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3 =a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3 =(-1)3=-1. 说明说明 这种解法巧妙地利用了-1=a-b,并将 3ab 化为-3ab(-1)=-3ab(a-b),从而凑成了(a-b)3. 解法解法 4 因为 a-b=-1,所以 (a-b)3=(-1)3=1, 即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1, a3-b3-3ab(a-b)=-1, 所以 a3-b3-3ab(-1)=-1, 即 a3-b3+3ab=-1. 说明说明 这种解法是由 a-b=-1,演绎推理出所求代数式的值. 解法解法 5 a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab =(a-b)3+3ab(a-b)+3ab =(-1)3+3ab(-1)+3ab =-1. 说明说明 这种解法是添项,凑出(a-b)3,然后化简求值.通过这个例题可以看出,求代数式的值的方法是很灵活的,需要认真思考,才能找到简便的算法.在本例的各种解法中,用到了几个常用的乘法公式,现总结如下: (a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2; (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 ; a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 解解 由已知,xy=2(x+y),代入所求代数式中,消去 xy,然后化简.所以 解解 因为 a=3b,所以 c=5a=5³(3b)=15b. 将 a,c 代入所求代数式,化简得 解解 因为(x-5)2,|m|都是非负数,所以由(1)有 由(2)得 y+1=3,所以 y=2. 下面先化简所求代数式,然后再代入求值. =x2y+5m2x+10xy2 =52³2+0+10³5³22=250 例例 6 如果 4a-3b=7,并且 3a+2b=19,求 14a-2b 的值. 分析分析 此题可以用方程组求出 a,b 的值,再分别代入 14a-2b 求值.下面介绍一种不必求出 a,b 的值的解法. 解解 14a-2b=2(7a-b) =2[(4a+3a)+(-3b+2b)] =2[(4a-3b)+(3a+2b)] =2(7+19)=52. |x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的值. 分析分析 所求代数式中六个绝对值的分界点,分别为:0,1,2, 据绝对值的意义去掉绝对值的符号,将有 3 个 x和 3 个-x,这样将抵消掉 x,使求值变得容易. 原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5) =-1-2+3+4+5=9. 说明说明 实际上,本题只要 x 的值在 2 与 3 之间,那么这个代数式的值就是 9,即它与 x 具体的取值无关. 例例 8 若 x:y:z=3:4:7,且 2x-y+z=18,那么 x+2y-z 的值是多少? 分析分析 x:y:z=3:4:7 可以写成 的形式,对于等比,我们通常可以设它们的比值为常数 k,这样可以给问题的解决带来便利. x=3k,y=4k,z=7k. 因为 2x-y+z=18, 所以 2³3k-4k+7k=18, 所以 k=2,所以 x=6,y=8,z=14,所以 x+2y-z=6+16-14=8. 例例 9 已知 x=y=11,求 (xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值. 分析分析 本题是可直接代入求值的.下面采用换元法,先将式子改写得较简洁,然后再求值. 解解 设 x+y=m,xy=n. 原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n) =(n-1)2+m2-2m-2mn+4n =n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2 =(n+1)2-2m(n+1)+m2 =(n+1-m)2 =(11³11+1-22)2 =(121+1-22)2 =1002=10000. 说明说明 换元法是处理较复杂的代数式的常用手法,通过换元,可以使代数式的特征更加突出,从而简化了题目的表述形式. 练习三练习三 1.求下列代数式的值: (1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4,其中 a=-2,b=1; 的值. 3.已知 a=3.5,b=-0.8,求代数式 |6-5b|-|3a-2b|-|8b-1| 的值. 4.已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0,求 a,b 的值. 5.已知 第四讲第四讲 一元一次方程一元一次方程 方程是中学数学中最重要的内容.最简单的方程是一元一次方程,它是进一步学习代数方程的基础,很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决.本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧. 用等号连结两个代数式的式子叫等式.如果给等式中的文字代以任何数值,等式都成立,这种等式叫恒等式.一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的. 如果给等式中的文字(未知数)代以某些值,等式成立,而代以其他的值,则等式不成立,这种等式叫作条件等式.条件等式也称为方程.使方程成立的未知数的值叫作方程的解.方程的解的集合,叫作方程的解集.解方程就是求出方程的解集. 只含有一个未知数(又称为一元),且其次数是 1 的方程叫作一元一次方程.任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式,这是一元一次方程的标准形式(最简形式). 解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项,化为最简形式 ax=b;(5)方程两边同除以未知数的系数,得出方程的解. 一元一次方程 ax=b 的解由 a,b 的取值来确定: (2)若 a=0,且 b=0,方程变为 0²x=0,则方程有无数多个解; (3)若 a=0,且 b≠0,方程变为 0²x=b,则方程无解. 例例 1 解方程 解法解法 1 从里到外逐级去括号.去小括号得 去中括号得 去大括号得 解法解法 2 按照分配律由外及里去括号.去大括号得 化简为 去中括号得 去小括号得 例例 2 已知下面两个方程 3(x+2)=5x,① 4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ② 有相同的解,试求 a的值. 分析分析 本题解题思路是从方程①中求出 x 的值,代入方程②,求出 a的值. 解解 由方程①可求得 3x-5x=-6,所以 x=3.由已知,x=3 也是方程②的解,根据方程解的定义,把 x=3 代入方程②时,应有 4³3-3(a-3)=6³3-7(a-3), 7(a-3)-3(a-3)=18-12, 例例 3 已知方程 2(x+1)=3(x-1)的解为 a+2,求方程 2[2(x+3)-3(x-a)]=3a 的解. 解解 由方程 2(x+1)=3(x-1)解得 x=5.由题设知 a+2=5,所以 a=3.于是有 2[2(x+3)-3(x-3)]=3³3,-2x=-21, 例例 4 解关于 x 的方程(mx-n)(m+n)=0. 分析分析 这个方程中未知数是 x,m,n 是可以取不同实数值的常数,因此需要讨论 m,n 取不同值时,方程解的情况. 解解 把原方程化为 m2x+mnx-mn-n2=0, 整理得 m(m+n)x=n(m+n). 当 m+n≠0,且 m=0 时,方程无解; 当 m+n=0 时,方程的解为一切实数. 说明说明 含有字母系数的方程,一定要注意字母的取值范围.解这类方程时,需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论. 例例 5 解方程 (a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2. 分析分析 本题将方程中的括号去掉后产生 x2项,但整理化简后,可以消去 x2,也就是说,原方程实际上仍是一个一元一次方程. 解解 将原方程整理化简得 (a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2, 即 (a2-b2)x=(a-b)2. (1)当 a2-b2≠0 时,即 a≠±b 时,方程有唯一解 (2)当 a2-b2=0 时,即 a=b 或 a=-b 时,若 a-b≠0,即 a≠b,即 a=-b 时,方程无解;若 a-b=0,即 a=b,方程有无数多个解. 例例 6 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程,求代数式 199(m+x)(x-2m)+m 的值. 解解 因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程,所以 m2-1=0,即 m=±1. (1)当 m=1 时,方程变为-2x+8=0,因此 x=4,代数式的值为 199(1+4)(4-2³1)+1=1991; (2)当 m=-1 时,原方程无解. 所以所求代数式的值为 1991. 例例 7 已知关于 x 的方程 a(2x-1)=3x-2 无解,试求 a的值. 解解 将原方程变形为 2ax-a=3x-2, 即 (2a-3)x=a-2. 由已知该方程无解,所以 例例 8 k 为何正数时,方程 k2x-k2=2kx-5k 的解是正数? 来确定: (1)若 b=0 时,方程的解是零;反之,若方程 ax=b 的解是零,则 b=0 成立. (2)若 ab>0 时,则方程的解是正数;反之,若方程 ax=b 的解是正数,则 ab>0 成立. (3)若 ab<0 时,则方程的解是负数;反之,若方程 ax=b 的解是负数,则 ab<0 成立. 解解 按未知数 x 整理方程得 (k2-2k)x=k2-5k. 要使方程的解为正数,需要 (k2-2k)(k2-5k)>0. 看不等式的左端 (k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5). 因为 k2≥0,所以只要 k>5 或 k<2 时上式大于零,所以当 k<2 或 k>5 时,原方程的解是正数,所以 k>5 或 0<k<2 即为所求. 例例 9 若 abc=1,解方程 解解 因为 abc=1,所以原方程可变形为 化简整理为 化简整理为 说明说明 像这种带有附加条件的方程,求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化. 例例 10 若 a,b,c 是正数,解方程 解法解法 1 原方程两边乘以 abc,得到方程 ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc.移项、合并同类项得 ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)] +ac[x-(a+b+c)]=0, 因此有 [x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0. 因为 a>0,b>0,c>0,所以 ab+bc+ac≠0,所以 x-(a+b+c)=0, 即 x=a+b+c 为原方程的解. 解法解法 2 将原方程右边的 3 移到左边变为-3,再拆为三个“-1” ,并注意到 其余两项做类似处理. 设 m=a+b+c,则原方程变形为 所以 即 x-(a+b+c)=0. 所以 x=a+b+c 为原方程的解. 说明说明 注意观察,巧妙变形,是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一. 例例 11 设 n 为自然数,[x]表示不超过 x 的最大整数,解方程: 分析分析 要解此方程,必须先去掉[ ],由于 n 是自然数,所以 n 与(n+1) „,n[x]都是整数,所以 x 必是整数. 解解 根据分析分析,x 必为整数,即 x=[x],所以原方程化为 合并同类项得 故有 所以 x=n(n+1)为原方程的解. 例例 12 已知关于 x 的方程 且 a 为某些自然数时,方程的解为自然数,试求自然数 a 的最小值. 解解 由原方程可解得 a 最小,所以 x 应取 x=160.所以 所以满足题设的自然数 a的最小值为 2. 练习四练习四 1.解下列方程:* 2.解下列关于 x 的方程: (1)a2(x-2)-3a=x+1; 4.当 k 取何值时,关于 x 的方程 3(x+1)=5-kx,分别有:(1)正数解;(2)负数解;(3)不大于 1 的解. 第五讲第五讲 方程组的解法方程组的解法 二元及多元(二元以上)一次方程组的求解,主要是通过同解变形进行消元,最终转化为一元一次方程来解决.所以,解方程组的基本思想是消元,主要的消元方法有代入消元和加减消元两种,下面结合例题予以介绍. 例例 1 解方程组 解解 将原方程组改写为 由方程②得 x=6+4y,代入①化简得 11y-4z=-19. ④ 由③得 2y+3z=4. ⑤ ④³3+⑤³4 得 33y+8y=-57+16, 所以 y=-1. 将 y=-1 代入⑤,得 z=2.将 y=-1 代入②,得 x=2.所以 为原方程组的解. 说明说明 本题解法中,由①,②消 x 时,采用了代入消元法;解④,⑤组成的方程组时,若用代入法消元,无论消y,还是消 z,都会出现分数系数,计算较繁,而利用两个方程中 z的系数是一正一负,且系数的绝对值较小,采用加减消元法较简单. 解方程组消元时,是使用代入消元,还是使用加减消元,要根据方程的具体特点而定,灵活地采用各种方法与技巧,使解法简捷明快. 例例 2 解方程组 解法解法 1 由①,④消 x 得 由⑥,⑦消元,得 解之得 将 y=2 代入①得 x=1.将 z=3 代入③得 u=4.所以 解法解法 2 由原方程组得 所以 x=5-2y=5-2(8-2z) =-11+4z=-11+4(11-2u) =33-8u=33-8(6-2x) =-15+16x, 即 x=-15+16x,解之得 x=1.将 x=1 代入⑧得 u=4.将 u=4 代入⑦得 z=3.将 z=3 代入⑥得 y=2.所以 为原方程组的解. 解法解法 3 ①+②+③+④得 x+y+z+u=10, ⑤ 由⑤-(①+③)得 y+u=6, ⑥ 由①³2-④得 4y-u=4, ⑦ ⑥+⑦得 y=2.以下略. 说明说明 解法解法 2 很好地利用了本题方程组的特点,解法简捷、流畅. 例例 3 解方程组 分析与解分析与解 注意到各方程中同一未知数系数的关系,可以先得到下面四个二元方程: ①+②得 x+u=3, ⑥ ②+③得 y+v=5, ⑦ ③+④得 z+x=7, ⑧ ④+⑤得 u+y=9. ⑨ 又①+②+③+④+⑤得 x+y+z+u+v=15.⑩ ⑩-⑥-⑦得 z=7,把 z=7 代入⑧得 x=0,把 x=0 代入⑥得 u=3,把 u=3 代入⑨得 y=6,把 y=6 代入⑦得 v=-1.所以 为原方程组的解. 例例 4 解方程组 解法解法 1 ①³2+②得 由③得 代入④得 为原方程组的解. 为原方程组的解. 说明说明 解法 1 称为整体处理法,即从整体上进行加减消元或代入消 为换元法,也就是干脆引入一个新 的辅助元来代替原方程组中的“整体元” ,从而简化方程组的求解过程. 例例 5 已知 分析与解分析与解 一般想法是利用方程组求出 x,y,z的值之后,代入所求的代数式计算.但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的,因此无法求出 x,y,z 的确定有限解,但我们可以利用加减消元法将原方程组变形. ①-②消去 x 得 ①³3+②消去 y 得 ①³5+②³3 消去 z得 例例 6 已知关于 x,y 的方程组 分别求出当 a 为何值时,方程组(1)有唯一一组解;(2)无解;(3)有无穷多组解. 分析分析 与一元一次方程一样,含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论,一般是通过消元,归结为一元一次方程 ax=b 的形式进行讨论.但必须特别注意,消元时,若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时,这个式子的值不能等于零. 解解 由①得 2y=(1+a)-ax, ③ 将③代入②得 (a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2). ④ (1)当(a-2)(a+1)≠0,即 a≠2且 a≠-1 时,方程④有 因而原方程组有唯一一组解. (2)当(a-2)(a+1)=0 且(a-2)(a+2)≠0 时,即 a=-1 时,方程④无解,因此原方程组无解. (3)当(a-2)(a+1)=0 且(a-2)(a+2)=0 时,即 a=2 时,方程④有无穷多个解,因此原方程组有无穷多组解. 例例 7 已知关于 x,y 的二元一次方程 (a-1)x+(a+2)y+5-2a=0, 当 a 每取一个值时,就有一个方程,
展开阅读全文
  麦档网所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
0条评论

还可以输入200字符

暂无评论,赶快抢占沙发吧。

关于本文
本文标题:奥数课本 七年级奥数(上册)
链接地址:https://www.maidoc.com/p-4564045.html
关于我们 - 网站声明 - 网站地图 - 资源地图 - 友情链接 - 网站客服 - 联系我们

copyright@ 2018-2020 maidoc.com版权所有  文库上传用户QQ群:3303921 

麦档网为“文档C2C模式”,即用户上传的文档所得金币直接给(下载)用户,本站只是中间服务平台,本站所有文档下载所得的金币归上传人(含作者)所有。
备案号:蜀ICP备17040478号-3  
川公网安备:51019002001290号 


收起
展开